____第3课__逻辑联结词与量词____

1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．

2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.

1. 阅读：阅读选修21第10～18页．

2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？

3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.

　基础诊断　

2.  命题“∃x∈R，2^x>0”的否定是__∀x∈R，2^x≤0__．

3.  下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个．

解析：①②④正确，③错误．

4.  已知命题“∃x∈[1，2]，x²＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__[－8，＋∞)__．

解析：原命题的否定为∀x∈[1，2]，x²＋2x＋a<0.因为y＝x²＋2x在区间[1，2]上单调递增，所以x²＋2x≤8<－a，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a的取值范围是a<－8的补集，即a≥－8，故a的取值范围是[－8，＋∞)．

　范例导航　

考向❶  以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围

例1　设命题p：函数f(x)＝是R上的减函数；命题q：函数g(x)＝x²－4x＋3在区间[0，a]上的值域为[－1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

解析：因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p，q中有且仅有一个命题为真命题．

若命题p为真，则0<a－<1，所以<a<；

若命题q为真，则g(x)＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1在[0，a]上的值域为[－1，3]，

故解得2≤a≤4.

①若p真q假，则

所以<a<2；

②若p假q真，则

所以≤a≤4.

综上所述，实数a的取值范围为∪.

已知a>0，设命题p：函数y＝a^x在R上单调递增；命题q：不等式ax²－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

解析：因为函数y＝a^x在R上单调递增，

所以命题p：a>1.

因为不等式ax²－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，

所以a>0且a²－4a<0，解得0<a<4，

所以命题q：0<a<4.

因为“p且q”为假，“p或q”为真，

所以p，q中必是一真一假．

若p真q假，则解得a≥4；

若p假q真，则解得0<a≤1.

综上所述，a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).

考向❷  以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围

例2　已知命题p：∃x∈R，|sinx|>a有解；命题q：∀x∈R，ax²＋2ax＋4>0恒成立．若命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

解析：命题p：∃x∈R，|sinx|>a有解，则a<1；

由命题q得，a＝0或解得0<a<4，

所以命题q：0≤a<4.

因为命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，所以命题p，q中有且仅有一个真命题．

若p真q假，则解得a<0；

若p假q真，则解得1≤a<4.

综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．

已知m∈R，设命题p：∀x∈[－1，1]，x²－2x－4m²＋8m－2≥0恒成立；命题q：∃x∈[1，2]，log(x²－mx＋1)<－1成立，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

解析：若p为真，则∀x∈[－1, 1]，4m²－8m≤x²－2x－2恒成立．

设f(x)＝x²－2x－2，配方得f(x)＝(x－1)²－3，

所以f(x)在区间[－1，1]上的最小值为－3，

所以4m²－8m≤－3，解得≤m≤，

所以当p为真时，≤m≤；

若q为真，则∃x∈[1，2], x²－mx＋1>2成立，

所以∃x∈[1，2]，m<成立．

设g(x)＝＝x－，

易知g(x)在区间[1，2]上是增函数，

所以g(x)的最大值为g(2)＝，所以m<，

所以当q为真时，m<.

因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，

所以p与q必是一真一假，

当p真q假时，所以m＝；

当p假q真时，所以m<.

综上所述，m的取值范围是{m|m<或m＝}.

考向❸  以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围

例3　已知k为实常数，命题p：方程＋＝1表示椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线.

(1) 若命题p为真命题，求k的取值范围；

(2) 若命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求k的取值范围．

解析：(1) 若命题p为真命题，则

解得k>1，即k的取值范围是(1，＋∞)．

(2) 若命题q为真命题，则k－3<0，即k<3.

因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

所以p，q必是一真一假．

当p真q假时， 解得k≥3；

当p假q真时，解得k≤1.

综上所述，k的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．

　自测反馈　

1.  命题“∀x>0，x＋1>”的否定是__∃x>0，x＋1≤__．

2.  若命题“p且q”是假命题，“非q”是假命题，则p是__假__命题．(填“真”或“假”)

解析：因为“p且q”为假命题，则命题p，q中必是一真一假．又因为“非q”是假命题，所以q为真命题，所以p为假命题．

3.  若命题“∃x∈R，x²＋2mx＋m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．

解析：由题意得Δ＝4m²－4m≥0，解得m≤0或m≥1，故实数m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．