反比例函数小结学案

学习目标

1.通过知识点与相应题目相结合,进一步巩固本章知识点.

2.体会反比例函数的意义,会根据已知条件确定反比例函数表达式.

3.会画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.

4.能用反比例函数解决某些实际问题.

学习过程

第一层学习:复习知识

1.什么是反比例函数?常见的三种表达形式 是什么?

2.你能回顾与总结反比例函数的图象与性质吗?

第二层学习:典例剖析

1.反比例函数的概念

【例1】下列函数中是反比例函数的有　　　　(填序号). 

①y= ;②y= ;③y= ;④xy= ;⑤y=x-1;⑥ =2;⑦y= (k为常数,k≠0).

点评:本题考查了反比例函数的定义,判断一个函数是否是反比例函数,首先看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的意义去判断,其形式为y= (k为常数,k≠0)或y=kx^-1(k为常数,k≠0).

【例2】m为何值时,下列函数是反比例函数?

(1)y=(m-1) ;

(2)y= .

点评:掌握反比例函数解析式的两种形式:①y= (k≠0)和②y=kx^-1(k≠0)的特点,据此列出关于字母参数的方程或不等式是关键.

2.反比例函数的性质

【例3】在函数y= (a为常数)的图象上有三点(1,y₁), ,(-3,y₃),则函数值y₁,y₂,y₃的大小关系是(　　)

A.y₁<>₂<>₃

B.y₃<>₂<> ₁

C.y₂<>₁<>₃

D.y₃<>₁<>₂

点评:本题考查了反比例函数的性质:反比例函数y= (k≠0)的图象为双曲线,当k>0时,图象分布在第一、三象限,在每一象限,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分布在第二、四象限,在 每一象限,y随x的增大而增大.

3.反比例函数解析式中k的几何意义

【例4】如图所示,两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图象依次是C₁和C₂,设点P在C₁上,PC⊥x轴于点C,交C₂于点A,PD⊥y轴于点D,交C₂于点B,则四边形PAOB的面积为(　　)

A.k₁+k₂

B.k₁-k₂

C.k₁·k₂

D.k₁·k₂-k₂

点评:本题考查了反比例函数系数k的几何意义:在反比例函数y= 图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

4.反比例函数的实际应用

【例5】为了预防“流感”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示).现测得药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg.研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg才有效,那么此次消毒的有效时间是多少?

点评:本题考查了反比例函数的应用,现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.

5.反比例函数的综合应用

【例6】如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于第一象限C,D两点,与坐标轴交于A,B两点,连接OC,OD(O是坐标原点).

(1)利用图中条件,求反比例函数与一次函数的解析式和m的值;

(2)双曲线上是否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

点评:本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用,用了数形结合思想.

评价作业

1.(10分)下列函数:xy=1,y= ,y= ,y= ,y=2x²中,是y关于x的反比例函数的有(　　)

A. 1个　　　　　　B.2个

C.3个        D.4个

2.(10分)反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(2,5),若点(-5,n)在反比例函数的图象上,则n等于(　　)

A.-10         B.-5

C.-2          D.-

3.(10分)对于函数y= (k>0)有以下四个结论:

①这是y关于x的反比例函数;②当x>0时,y的值随着x的增大而减小;③函数图象与x轴有且只有一个交点;④函数图象关于点(0,3)成中心对称.

其中正确的是(　　)

A.①②        B.③④

C.①②③      D.②③④

4.(10分)在函数y=- 的图象上有三点(-1,y₁),(-0.25,y₂),(3,y₃),则函数值y₁,y₂,y₃的大小关系是　　　.　 

5.(10分)小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m,当撬动石头的动力F至少需要400 N时,则动力臂l的最大值为　　　　 m. 

6.(10分)如图,点D为矩形OABC的AB边的中点,反比例函数y= (x>0)的图象经过点D,交BC边于点E.若△BDE的面积为1,则k=　　　　. 

7.(20分)如图,直线y=3x-5与反比例函数y= 的图象相交A(2,m),B(n,-6)两点,连接OA,OB.

(1)求k和n的值;

(2)求△AOB的面积.

8.(20分)喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序,即需要将电热水壶中的水烧到100 ℃,然后停止烧水,等水温降低到适合的温度时再泡茶,烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;停止加热过了1分钟后,水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20 ℃,降温过程中水温不低于20 ℃.

(1)分别求出图中所对应的函数关系式,并且写出自变量x的取值范围;

(2)从水壶中的水烧开(100 ℃)降到80 ℃就可以进行泡制绿茶,问从水烧开到泡茶需要等待多长时间?

参考答案

第一层学习:复习知识

1.一般地,形如y= (k是常数,k≠ 0 )的函数叫做反比例函数.

解析式有三种常见的表达形式:①y= (k是常数,k≠0),②xy=k(k是常数,k≠0),③y=kx^-1(k是常数,k≠0).　

2.

第二层学习:典例剖析

1.反比例函数的概念

【例1】解析:由题意可得①⑤⑥是一次函数;②③④⑦是反比例函数.

答案:②③④⑦

【例2】解:(1)由题意得m²-2=-1,且m-1≠0,

解得m=-1;

(2)由题意得m+2≠0,|m|-1=1,

解得m=2.

2.反比例函数的性质

【例3】解析:∵-a²-1<0,

∴函数y= (a为常数)的图象分布在第二、四象限,

∴y₃为正数,最大;y₁ >y₂,

∴y₂<>₁<>₃.

答案:C

3.反比例函数解析式中k的几何意义

【例4】解析:∵PC⊥x轴,PD⊥y轴,

∴S_矩形PCOD=k₁,S_△AOC=S_△BOD= ×k₂,

∴四边形PAOB的面积=S_矩形PCOD-S_△AOC-S_△BOD=k₁- k₂- k₂=k₁-k₂.

答案:B

4.反比例函数的实际应用

【例5】解:设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k₁x(k₁>0),

将(8,6)代入,得6=8k₁,解得k₁= ;

设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y= (k₂>0),

将(8,6)代入,得6= ,解得k₂=48,

所以药物燃烧时y关于x的函数关系式为y= x(0≤x≤8),

药物燃烧后y关于x的函数关系式为y= (x>8);

把y=3代入 y= x,得x=4,

把y=3代入y= ,得x=16.

16-4=12(分钟 ).

故此次消毒的有效时间是12分钟.

5.反比例函数的综合应用

【例6】解:(1)把C(1,4)代入y= ,

得k=4,

把(4,m)代入y= ,得m=1;

∴反比例函数的解析式为y= ,m=1;

把C(1,4),D(4,1)代入y=ax+b得出

解得

∴一次函数的解析式为y=-x+5;

(2)双曲线上存在点P(2,2),使得S_△POC=S_△POD,理由如下:

∵C点坐标为(1,4),D点坐标为(4,1),

∴OD=OC= ,

∴当点P在∠COD的平分线上时,∠COP= ∠POD,又OP=OP,

∴△POC≌△POD,

∴S_△POC=S_△POD.

∵C点坐标为(1,4),D点坐标为(4,1),

可得∠COB=∠DOA,

又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y= 交点,

∴∠BOP=∠POA,

∴P点横纵坐标相等,

即xy=4,x²=4,

∴x=±2,

∵x>0,

∴x=2,y=2,

故P点坐标为(2,2),使得△POC和△POD的面积相等.

利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(-2,-2).

评价作业

1.A　2.C　3.D

4.y₃<>₁<>₂

5.1.5

6.4

7.解:(1)∵点B(n,-6)在直线y=3x-5上,

∴-6=3n-5,

解得n=- ,

∴B ,

∵反比例函数y= 的图象过点B,

∴k-1=- ×(-6),

解得k=3;

(2)设直线y=3x-5分别 与x轴、y轴交于C,D,

当y=0时,3x-5=0,x= ,

即OC= ,

当x=0时,y=-5,

即OD=5,

∵A(2,m)在直线y=3x-5上,

∴m=3×2-5=1,

即A(2,1),

∴△AOB的面积S=S_△BOD+S_△COD+S_△AOC= ×5+ ×5+ ×1= .

8.解:(1)停止加热时,设y= ,

由题意得50= ,

解得k=900,

∴y= ,

当y=100时,解得x=9,

∴C点坐标为(9,100),

∴B点坐标为(8,100),

当加热烧水时,设y=ax+20,

由题意得100=8a+20,

解得a=10,

∴当加热烧水时,函数关系式为y=10x+20(0≤x≤8);

当停止加热时,得y与x的函数关系式为(1)y=100(8<>≤9);y= (9<>≤45);

(2)把y=80代入y= ,得x=11.25,

因此从水烧开到泡茶需要等待3.25分钟.